6.17. ตัวแก้สมการและตัวเลขสุ่ม

เมื่อฟังก์ชันที่ต้องการศึกษาถูกกำหนดโดยโค้ด Python แทนที่จะเป็นบัฟเฟอร์ของตัวอย่าง กลุ่มเครื่องมืออีกประเภทหนึ่งจะเหมาะสมกว่า ได้แก่ รากของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน ค่าต่ำสุดอยู่ที่ไหน ค่าอินทิกรัลในช่วงที่กำหนดเป็นเท่าไร โมดูลย่อย scipy.integrate และ scipy.optimize ครอบคลุมงานดังกล่าว แต่ละอัลกอริทึมเรียกกลับไปยังฟังก์ชัน Python ที่ผู้ใช้ระบุ ดังนั้นต้นทุนต่อรอบการทำงานจึงสูงกว่าการลดขนาดบัฟเฟอร์ ความสะดวกอยู่ที่ไม่ต้องเขียนตัวแก้สมการเอง

โมดูลย่อย scipy.special ครอบคลุมฟังก์ชันพิเศษทางสถิติ (ฟังก์ชันความผิดพลาด แกมมา) ที่ปรากฏเมื่อคำนวณ ฟังก์ชันการแจกแจงแบบสะสม (CDF ความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างมีค่าไม่เกินค่าที่กำหนด) หรือ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF ความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ที่ค่าที่กำหนด) numpy.random ครอบคลุมตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมสำหรับการ dithering การจำลอง และข้อมูลทดสอบสังเคราะห์

6.17.1. การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของ callable

เมื่อ integrand เป็นฟังก์ชัน Python แทนที่จะเป็นบัฟเฟอร์ของตัวอย่าง scipy.integrate เปิดเผยอัลกอริทึม quadrature สี่แบบ:

• quad() -- Gauss-Kronrod แบบปรับตัว ค่าเริ่มต้นที่ถูกต้องสำหรับ integrand ที่เรียบ คืนค่า (value, error)

• romberg() -- Romberg / Newton-Cotes แบบคลาสสิก คืนค่า float เดี่ยว เลิกใช้งานต้นทาง รวมไว้เพื่อความเข้ากันได้

• simpson() -- กฎ Simpson แบบปรับตัว คืนค่า float เดี่ยว

• tanhsinh() -- quadrature แบบ double-exponential ใช้เมื่อ integrand มีจุดเอกฐานที่ปลายหรือขีดจำกัดอนันต์ คืนค่า (value, error)

Gaussian integral ที่คำนวณด้วยกฎ double-exponential (tanhsinh):

from math import exp
from math import pi
from math import sqrt
from ulab import numpy as np
from ulab import scipy as sp

f = lambda x: exp(-x * x)
value, err = sp.integrate.tanhsinh(f, -np.inf, np.inf)
print("approx:", value, "   exact:", sqrt(pi))

ผลลัพธ์:

approx: 1.7724538...   exact: 1.7724538...

6.17.2. การหารากและการหาค่าต่ำสุด

scipy.optimize ครอบคลุมตัวแก้สมการตัวแปรเดียวแบบคลาสสิกสามตัว แต่ละรอบการทำงานจะเรียกกลับไปยังฟังก์ชัน Python ที่ผู้ใช้ระบุ ดังนั้นความเร็วที่เพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับตัวแก้สมการ Python แบบบริสุทธิ์จึงน้อยมาก (ประมาณ 2 เท่า) ความสะดวกอยู่ที่ไม่ต้องเขียนตัวแก้สมการเอง

• bisect() -- หารากของ f บน [a, b] โดยการแบ่งช่วงครึ่ง f(a) และ f(b) ต้องมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน:

  def f(x):
      return x * x - 1
  
  sp.optimize.bisect(f, 0, 4)        # ~1.0
  

• newton() -- หารากโดยใช้การวนซ้ำ secant / Newton-Raphson:

  def f(x):
      return x * x * x - 2.0
  
  sp.optimize.newton(f, 3., tol=0.001, rtol=0.01)
  # ~1.260
  

• fmin() -- หาค่าต่ำสุดท้องถิ่นโดยใช้วิธี downhill-simplex (Nelder-Mead):

  def f(x):
      return (x - 1) ** 2 - 1
  
  sp.optimize.fmin(f, 3.0)           # ~1.0
  

ขอบเขตตัวแปรเดียวเพียงพอสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพส่วนใหญ่ทางฝั่งกล้อง เช่น ค่าคงที่การสอบเทียบของเซนเซอร์ ค่าเกนที่เพิ่มการวัดค่าคอนทราสต์ให้สูงสุด ค่าขีดแบ่งที่ทำให้ฮิสโตแกรมมี bimodality ชัดเจนที่สุด สำหรับปัญหาหลายตัวแปร คำตอบที่ถูกต้องโดยทั่วไปคือการกำหนดปัญหาใหม่เป็นการแก้สมการพีชคณิตเชิงเส้นขนาดเล็กแทนที่จะใช้ตัวหาค่าเหมาะสมที่ไม่เชิงเส้นทั่วไป

6.17.3. ฟังก์ชันพิเศษ

scipy.special เปิดเผยฟังก์ชันทางสถิติและความน่าจะเป็นจำนวนหนึ่งที่ทำงานเหมือนฟังก์ชันสากล โดยรับ scalar, iterable หรือ ndarray และคืนค่า ndarray แบบ float:

x = np.linspace(0, 4, num=8)

sp.special.erf(x)         # error function
sp.special.erfc(x)        # complementary error function
sp.special.gamma(x + 1)   # gamma function
sp.special.gammaln(x + 1) # log-gamma function

ฟังก์ชันความผิดพลาดและส่วนเสริมปรากฏใน CDF ของการแจกแจง Gaussian ซึ่งเป็นแอปพลิเคชันที่เหมาะสำหรับการแปลงระหว่าง z-score ที่วัดได้กับความน่าจะเป็น หรือสำหรับการคำนวณ tail integral ของการแจกแจงปกติ ฟังก์ชัน gamma และ log-gamma ปรากฏในการคำนวณ beta / chi-squared / student-t โดย gammaln เป็นรูปแบบที่มีความเสถียรเชิงตัวเลขสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่ที่ gamma เองจะล้นค่า

6.17.4. ตัวเลขสุ่ม

numpy.random ให้คลาส Generator ที่ดึงตัวอย่างจากการแจกแจงทั่วไป ตัวสร้างมีสถานะ: แต่ละการเรียกจะก้าวหน้าสถานะภายใน ดังนั้นการเรียกต่อเนื่องจะคืนค่าตัวอย่างที่เป็นอิสระ:

from ulab import numpy as np

rng = np.random.Generator(seed=42)

rng.random(size=5)             # 5 uniform [0.0, 1.0) samples
rng.uniform(low=-1.0, high=1.0, size=10)
rng.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=(2, 4))

ประเภทข้อมูลเอาต์พุตจะเป็น float เสมอ size= รับจำนวนเต็ม (เอาต์พุต 1 มิติ) หรือ tuple (เอาต์พุต n มิติ) เมื่อไม่ระบุ จะคืนค่า Python float เดี่ยว

ตัวสร้างเหมาะสำหรับการจำลอง การ dithering ข้อมูลทดสอบสังเคราะห์ และแอปพลิเคชันอื่น ๆ ที่ไม่ต้องการความแข็งแกร่งในระดับ cryptographic ไม่ เหมาะสำหรับคีย์หรือ token ให้ใช้แหล่งสุ่มของระบบผ่าน os สำหรับสิ่งเหล่านั้น

6.17.5. ความพร้อมใช้งานในเวลาสร้าง

ว่าแต่ละโมดูลย่อยมีอยู่จริงหรือไม่ขึ้นอยู่กับวิธีที่สร้างกล้อง scipy.optimize และ scipy.special ไม่ได้เปิดใช้งานบนกล้องทุกตัว การเรียกฟังก์ชันที่กล้องไม่รวมไว้จะทำให้เกิด AttributeError dir(sp), dir(sp.optimize), dir(np.random) และคำสั่งที่คล้ายกันจะรายงานสิ่งที่มีอยู่บนกล้องที่กำหนดเป้าหมาย