4.3. 視野

カメラはその前方にある世界の円錐状の範囲を捉えます。その円錐の外側にあるものはすべてセンサーの端から外れて写りません。この円錐の角度幅が視野（FOV）であり、センサーサイズとレンズの焦点距離という2つの値によって決まります。

4.3.1. FOVの公式

A vertical lens with a sensor of width S behind it at distance f. Two rays leave the top and bottom edges of the sensor, pass through the centre of the lens, and diverge into the scene on the far side, defining a cone whose full angle is labelled FOV.

レンズの後方、距離 \(f\) のところにある幅 \(S\) のセンサーは、入射する光線の円錐を定義します。その円錐の全角が視野です。

幅 \(S\) のセンサーが、レンズの後方、距離 \(f\) のところに、光軸に対して垂直に配置されています。薄レンズモデルによれば、レンズの中心を通る光線は曲がらずにそのまま直進するため、センサーの各端からそのような光線を1本ずつたどってみましょう。それぞれの光線はレンズの中心をまっすぐ通り抜け、反対側のシーンへと出ていきます。両者を合わせると、センサーが集めることのできる光の円錐の境界が定まり、レンズのところでそれらがなす角度が視野となります。

この円錐の半分は直角三角形になります。一方の辺はレンズ中心からセンサー中心までの光軸で、長さは \(f\) です。もう一方の辺はセンサー中心から一方の端までの半センサーで、長さは \(S / 2\) です。斜辺は光線そのもので、レンズ中心からセンサー端まで伸びています。

ピタゴラスの定理は3辺の長さを互いに関連付けますが、ピタゴラスでは角度は得られません。私たちが求めているのはレンズの頂点における角度です。三角法が辺の比から角度への橋渡しをします。任意の直角三角形において、ある角度の正接はその対辺を隣辺で割ったものとして定義されます。半FOV角については、対辺が半センサー \(S / 2\)、隣辺が光軸の辺 \(f\) なので、次のようになります。

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

角度そのものは、両辺に正接の逆関数、すなわち逆正接関数を適用することで求められます。

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

円錐は軸に対して対称なので、全FOVは半角の2倍になります。

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

この公式からは2つの帰結が導かれます。

  • レンズの焦点距離が角度を決めるのであって、絶対的な大きさを決めるのではありません。 「広角」レンズが広角なのは、その焦点距離が短いからです。\(f\) が小さいほど比 \(S / 2f\) が大きくなり、円錐が広くなります。焦点距離が長いと円錐が狭くなります（「望遠」レンズ）。

  • センサーサイズも重要です。 同じレンズをより小さなセンサーの前に取り付けると円錐が切り取られます。同じレンズでも、小さなセンサーでは大きなセンサーよりも視野が狭くなります。これが、異なるカメラの焦点距離の数値を直接比較できない理由です。FOVは \(f\) と \(S\) の両方に依存します。

4.3.2. 3つのレンズの選択肢

4.8 mm × 3.6 mm のセンサー（OpenMV Cam のセンサーが提供するものにおおよそ一致する一般的な小型フォーマットのサイズ）と3つのレンズの選択肢を考えてみましょう。

焦点距離

対角FOV

水平FOV

垂直FOV

説明

2.8 mm

約94°

約81°

約66°

広角

4 mm

約74°

約62°

約48°

標準

8 mm

約41°

約33°

約25°

狭角／望遠

3つの列はすべて同じ公式を通ります。対角FOVはセンサーの対角線 \(\sqrt{W^2 + H^2}\)（このセンサーでは6 mm）に等しい \(S\) を使います。水平FOVは \(S = W = 4.8\) mm を使い、垂直FOVは \(S = H = 3.6\) mm を使います。焦点距離を半分にすると各円錐はほぼ2倍になり、2倍にするとほぼ半分になります。

レンズのデータシートでは通常、対角FOVが単一の代表値として公表されます。これはセンサーの対角線を端から端まで覆うためです。フレームに何が収まるかを計画するには、水平FOVと垂直FOVのほうがより直接的に役立ちます。なぜなら、フレームは長方形であり、長方形の作業領域は対角線方向ではなく水平方向と垂直方向に沿って区切られるからです。

4.3.3. 焦点距離の選択

アプリケーションに必要なFOVは、カメラがどれだけ大きな領域を見る必要があるか、そしてカメラがどれだけ離れているかによって決まります。カメラが 0.6 m × 0.6 m の作業領域の上方 1 m に設置されている場合、一辺をカバーするのに必要な角度FOVは \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\) であり、上記の 8 mm レンズが近い値になります。

アプリケーションが必要とするよりも広角にすると、フレーム内で物体が小さくなり、背景にピクセルを浪費し、レンズの歪みが増えます。狭角にしすぎると、シーンの一部がセンサーの端から外れてしまいます。適切なレンズとは、カメラの想定距離で作業領域をなおカバーできる、最も長い焦点距離のものです。