6.16. 曲線與積分

數學各頁涵蓋了輸入一個陣列、輸出一個陣列（或純量）的運算——算術、歸約、廣播。本頁則涵蓋另一類運算：把陣列視為一個 取樣後的函數，並針對該函數本身提出問題。在樣本之間進行內插、對其擬合一條曲線、計算其下方的積分，以及將其與另一個緩衝區進行卷積。

這些運算全都接受 ndarray 輸入，並傳回浮點數純量或浮點數 ndarray。

6.16.1. 內插

interp() 執行一維線性內插。xp 是一個單調遞增的一維自變數值陣列；fp 是對應的應變數值；x 則是內插函數應被求值的位置:

xp = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0])
fp = np.array([10.0, 20.0, 25.0, 30.0])
x  = np.array([0.5, 1.5, 2.5])

np.interp(x, xp, fp)
# array([15.0, 22.5, 27.5])

在 [xp[0], xp[-1]] 範圍之外，結果會分別被裁剪為 fp[0] 和 fp[-1]；left= 和 right= 關鍵字可覆寫這些端點值。

在相機上用於將校正表重新對應至任意樣本位置——例如熱敏電阻的溫度對電壓表、非線性的像素響應曲線，或逐通道的 gamma 查找表。單次函式庫呼叫、對輸入的單趟遍歷，無需 Python 迴圈。

6.16.2. 多項式擬合與求值

polyfit() 會以最小平方法將次數為 deg 的多項式擬合至資料點 (x, y)，並傳回係數（最高次項在前）:

x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
y = np.array([0.0, 1.1, 3.9, 9.1, 15.8])

coeffs = np.polyfit(x, y, 2)
# array([1.0, 0.0, 0.0])  (approximately)

當省略 x 時，會使用 range(len(y))——這對於為沒有對應 x 軸的規律取樣緩衝區快速擬合多項式很有用:

np.polyfit(y, 2)

polyval() 會在 x 處對係數為 p 的多項式求值。輸入 x 可以是純量（傳回浮點數）或 ndarray（傳回 ndarray）:

p = np.polyfit(x, y, 2)
fitted = np.polyval(p, x)

自然的搭配方式是：在校正時呼叫一次 polyfit，儲存其係數，然後每一影格呼叫 polyval 來對所得的曲線求值。多項式求值這一步驟每個樣本只需少數幾次浮點運算，即使在最小的相機上也很便宜。

6.16.3. 卷積

convolve() 會傳回兩個一維陣列的完整長度離散線性卷積。僅實作了 full 模式；輸出長度為 len(a) + len(v) - 1。對結果進行切片即可達到桌面版 numpy 所提供的 same 與 valid 模式的相同效果:

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
v = np.array([0.5, 0.5])

np.convolve(a, v)
# array([0.5, 1.5, 2.5, 1.5])

對於短的 FIR 濾波器與平滑核（方形、三角形、高斯）很有用，這些情況下建立 SOS 串接會顯得多餘。其執行時間與兩個陣列長度的乘積成正比——對於短核沒有問題，但對於長核很快就會比 FFT 卷積更昂貴。

6.16.4. 梯形積分

trapz() 會以複合梯形法則對取樣後的函數進行積分:

x = np.linspace(0, np.pi, num=128)
y = np.sin(x)
np.trapz(y, x)             # ~ 2.0

當樣本間距均勻且只有步長有意義時，請傳入 dx=；當樣本不是等間距時，請傳入 x=。這是用於對已擷取的感測器資料進行積分的合適呼叫，因為這種情況下並沒有可用的解析形式。

對於已經過 帶限 的樣本資料（例如音訊緩衝區經過抗鋸齒濾波之後），梯形法則的收斂速度與樣本數的平方成正比，這表示緩衝區長度加倍可將誤差降為原本的四分之一。

當被積函數不是一個樣本緩衝區，而是應用程式可以在任意點上求值的 Python 函數時，另有一系列不同的求解器才是合適的選擇。