4.3. มุมมองภาพ

กล้องมองเห็นโลกเป็นรูปกรวยด้านหน้า สิ่งที่อยู่นอกกรวยนั้นจะตกออกไปนอกขอบเซนเซอร์ ความกว้างเชิงมุมของกรวยนี้คือ มุมมองภาพ (FOV) ซึ่งถูกกำหนดโดยสองค่า ได้แก่ ขนาดเซนเซอร์และความยาวโฟกัสของเลนส์

4.3.1. สูตร FOV

เซนเซอร์ความกว้าง \(S\) ที่ระยะ \(f\) ด้านหลังเลนส์กำหนดกรวยของรังสีที่เข้ามา มุมเต็มของกรวยนั้นคือมุมมองภาพ

เซนเซอร์ความกว้าง \(S\) อยู่ที่ระยะ \(f\) ด้านหลังเลนส์ ตั้งฉากกับแกนแสง โมเดลเลนส์บางระบุว่ารังสีที่ผ่านจุดศูนย์กลางของเลนส์จะดำเนินต่อไปโดยไม่เบี่ยงเบน จึงลากรังสีเช่นนั้นหนึ่งเส้นจากแต่ละขอบของเซนเซอร์ แต่ละเส้นพุ่งตรงผ่านจุดศูนย์กลางเลนส์และออกสู่ฉากอีกด้านหนึ่ง รวมกันแล้วกำหนดขอบกรวยของแสงที่เซนเซอร์สามารถรับได้ และมุมระหว่างรังสีเหล่านั้นที่เลนส์คือมุมมองภาพ

ครึ่งหนึ่งของกรวยนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านหนึ่งคือแกนแสงจากจุดศูนย์กลางเลนส์ถึงจุดกลางเซนเซอร์ -- ความยาว \(f\) อีกด้านคือครึ่งเซนเซอร์จากจุดกลางเซนเซอร์ถึงขอบหนึ่ง -- ความยาว \(S / 2\) ด้านตรงข้ามมุมฉากคือรังสีเองที่วิ่งจากจุดศูนย์กลางเลนส์ถึงขอบเซนเซอร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมความยาวทั้งสามด้านเข้าด้วยกัน แต่พีทาโกรัสไม่ให้มุม และมุมที่จุดยอดเลนส์คือสิ่งที่เราต้องการ ตรีโกณมิติ เป็นสะพานจากอัตราส่วนด้านไปสู่มุม ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดก็ตาม แทนเจนต์ ของมุมหนึ่งถูกนิยามว่าเป็นด้านตรงข้ามหารด้วยด้านประชิด สำหรับมุมครึ่ง FOV ด้านตรงข้ามคือครึ่งเซนเซอร์ \(S / 2\) และด้านประชิดคือขาแกนแสง \(f\) ดังนั้น

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

มุมนั้นเองได้มาโดยใช้ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ -- ฟังก์ชัน อาร์กแทนเจนต์ -- กับทั้งสองด้าน:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

กรวยสมมาตรรอบแกน ดังนั้น FOV เต็มคือสองเท่าของครึ่งมุม:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

สองผลสืบเนื่องที่ตามมาจากสูตร:

• ความยาวโฟกัสของเลนส์กำหนดมุม ไม่ใช่ขนาดสัมบูรณ์ เลนส์ "มุมกว้าง" กว้างเพราะความยาวโฟกัส สั้น -- ยิ่ง \(f\) น้อยเท่าใด อัตราส่วน \(S / 2f\) ยิ่งมากขึ้น และกรวยยิ่งกว้างขึ้น ความยาวโฟกัสยาวทำให้กรวยแคบลง (เลนส์ "เทเลโฟโต้")

• ขนาดเซนเซอร์ก็มีความสำคัญเช่นกัน การติดเลนส์เดิมไว้หน้าเซนเซอร์ขนาดเล็กกว่าจะตัดกรวยให้แคบลง -- เลนส์เดิมมีมุมมองภาพแคบกว่าบนเซนเซอร์ขนาดเล็กกว่าเมื่อเทียบกับเซนเซอร์ขนาดใหญ่กว่า นี่คือเหตุผลที่ตัวเลขความยาวโฟกัสบนกล้องต่างกันไม่สามารถเปรียบเทียบได้โดยตรง FOV ขึ้นอยู่กับทั้ง \(f\) และ \(S\)

4.3.2. ตัวเลือกเลนส์สามแบบ

นำเซนเซอร์ขนาด 4.8 mm × 3.6 mm (ขนาดฟอร์แมตเล็กทั่วไปที่ใกล้เคียงกับที่เซนเซอร์ OpenMV Cam ให้ได้) และตัวเลือกเลนส์สามแบบ

ความยาวโฟกัส	FOV แนวทแยง	FOV แนวนอน	FOV แนวตั้ง	คำอธิบาย
2.8 mm	~94°	~81°	~66°	มุมกว้าง
4 mm	~74°	~62°	~48°	ปกติ
8 mm	~41°	~33°	~25°	แคบ / เทเลโฟโต้

ทั้งสามคอลัมน์ผ่านสูตรเดียวกัน FOV แนวทแยงใช้ \(S\) เท่ากับเส้นทแยงมุมของเซนเซอร์ \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm สำหรับเซนเซอร์นี้) FOV แนวนอนใช้ \(S = W = 4.8\) mm FOV แนวตั้งใช้ \(S = H = 3.6\) mm การลดความยาวโฟกัสลงครึ่งหนึ่งทำให้กรวยแต่ละอันใหญ่ขึ้นเกือบสองเท่า การเพิ่มเป็นสองเท่าทำให้กรวยเล็กลงเกือบครึ่งหนึ่ง

ข้อมูลจำเพาะเลนส์มักเผยแพร่ FOV แนวทแยง เป็นตัวเลขหลักเพียงตัวเดียว เนื่องจากครอบคลุมมุมเซนเซอร์ถึงมุม FOV แนวนอนและแนวตั้งมีประโยชน์โดยตรงมากกว่าเมื่อวางแผนว่าอะไรจะพอดีในเฟรม เพราะเฟรมเป็นรูปสี่เหลี่ยมและพื้นที่ทำงานรูปสี่เหลี่ยมถูกกำหนดขอบเขตตามแนวนอนและแนวตั้ง ไม่ใช่แนวทแยง

4.3.3. การเลือกความยาวโฟกัส

FOV ที่แอปพลิเคชันต้องการถูกกำหนดโดยขนาดบริเวณที่กล้องต้องมองเห็นและระยะห่างที่กล้องจะอยู่ หากกล้องอยู่สูง 1 m เหนือพื้นที่ทำงาน 0.6 m × 0.6 m FOV เชิงมุมที่ต้องการเพื่อครอบคลุมขอบหนึ่งคือ \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\) และเลนส์ 8 mm ข้างต้นใกล้เคียงที่สุด

การใช้มุมกว้างกว่าที่แอปพลิเคชันต้องการทำให้วัตถุเล็กลงในเฟรม เสียพิกเซลไปกับพื้นหลัง และเพิ่มความเพี้ยนของเลนส์ การใช้มุมแคบกว่าจะทำให้บางส่วนของฉากตกออกนอกขอบเซนเซอร์ เลนส์ที่เหมาะสมคือเลนส์ที่มีความยาวโฟกัสยาวที่สุดที่ยังครอบคลุมพื้นที่ทำงานที่ระยะที่กล้องตั้งใจจะใช้