4.3. Поле зору

Камера бачить конус простору перед собою; все, що виходить за межі цього конуса, потрапляє поза краями датчика. Кутова ширина цього конуса є полем зору (FOV), і визначається двома числами – розміром датчика та фокусною відстанню об’єктива.

4.3.1. Формула FOV

Датчик шириною \(S\) на відстані \(f\) позаду об’єктива визначає конус вхідних променів. Повний кут цього конуса є полем зору.

Датчик шириною \(S\) розташований на відстані \(f\) позаду об’єктива, перпендикулярно до оптичної осі. Модель тонкої лінзи стверджує, що промінь, який проходить через центр об’єктива, продовжується без відхилення, тому простежимо один такий промінь від кожного краю датчика: кожен прямує прямо через центр об’єктива та виходить у сцену по той бік. Разом вони обмежують конус світла, який датчик може зібрати, а кут між ними на об’єктиві є полем зору.

Половина цього конуса є прямокутним трикутником. Один катет – це оптична вісь від центру об’єктива до центру датчика – довжиною \(f\). Інший катет – це половина датчика від центру датчика до одного краю – довжиною \(S / 2\). Гіпотенуза – сам промінь, що проходить від центру об’єктива до краю датчика.

Теорема Піфагора пов’язує три довжини сторін, але Піфагор не дає кутів, а нас цікавить саме кут при вершині об’єктива. Тригонометрія є мостом між відношеннями сторін і кутами. У будь-якому прямокутному трикутнику тангенс кута визначається як його протилежний катет, ділений на прилеглий. Для кута половини FOV протилежним катетом є половина датчика \(S / 2\), а прилеглим – оптична вісь довжиною \(f\), тому

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Сам кут отримується застосуванням функції, оберненої до тангенса – арктангенса – до обох частин:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Конус симетричний відносно осі, тому повний FOV удвічі більший за половину кута:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

З формули випливають два наслідки:

• Фокусна відстань об’єктива визначає кут, а не абсолютний розмір. «Ширококутний» об’єктив є широким, тому що його фокусна відстань коротка – чим менше \(f\), тим більшим стає відношення \(S / 2f\) і тим ширший конус. Велика фокусна відстань звужує конус («телефото» об’єктив).

• Розмір датчика також має значення. Встановлення того самого об’єктива перед меншим датчиком обрізає конус – той самий об’єктив має менше поле зору на меншому датчику, ніж на більшому. Ось чому числа фокусних відстаней на різних камерах не можна порівнювати напряму; FOV залежить як від \(f\), так і від \(S\).

4.3.2. Три варіанти об’єктивів

Візьмемо датчик розміром 4,8 мм × 3,6 мм (поширений малий формат, приблизно відповідає датчикам OpenMV Cam) і три варіанти об’єктивів.

фокусна відстань	діагональний FOV	горизонтальний FOV	вертикальний FOV	опис
2.8 mm	~94°	~81°	~66°	широкий кут
4 mm	~74°	~62°	~48°	нормальний
8 mm	~41°	~33°	~25°	вузький / теле

Усі три стовпці проходять через ту саму формулу. Діагональний FOV використовує \(S\), рівний діагоналі датчика \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 мм для цього датчика); горизонтальний FOV використовує \(S = W = 4.8\) мм; вертикальний FOV використовує \(S = H = 3.6\) мм. Зменшення фокусної відстані вдвічі майже подвоює кожен конус; збільшення вдвічі майже вдвічі зменшує їх.

У технічних характеристиках об’єктивів зазвичай публікується діагональний FOV як єдине основне число, оскільки він охоплює датчик від кута до кута. Горизонтальний та вертикальний FOV більш безпосередньо корисні при плануванні того, що потрапить у кадр, оскільки кадр прямокутний і прямокутна робоча область обмежена вздовж горизонталі та вертикалі, а не діагоналі.

4.3.3. Вибір фокусної відстані

FOV, необхідний для застосування, визначається розміром регіону, який камера має бачити, і відстанню до камери. Якщо камера розташована на 1 м над робочою ділянкою 0,6 м × 0,6 м, кутовий FOV, необхідний для охоплення одного краю, становить \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), і об’єктив 8 мм, наведений вище, підходить.

Ширший кут, ніж потрібно для застосування, робить об’єкти меншими в кадрі, витрачає пікселі на фон і збільшує спотворення об’єктива. Вужчий кут залишає частини сцени поза краями датчика. Правильний об’єктив – це найдовша фокусна відстань, що все ще охоплює робочу ділянку на запланованій відстані від камери.