4.3. 시야각(Field of view)

카메라는 정면에 있는 원뿔 모양의 세계를 봅니다. 그 원뿔 밖의 모든 것은 센서 가장자리 너머로 벗어납니다. 그 원뿔의 각도 폭이 바로 화각(field of view, FOV)이며, 이는 센서 크기와 렌즈 초점 거리라는 두 가지 값으로 결정됩니다.

4.3.1. FOV 공식

렌즈 뒤쪽으로 거리 \(f\) 만큼 떨어진 곳에 놓인 폭 \(S\) 의 센서는 들어오는 광선들의 원뿔을 정의합니다. 그 원뿔의 전체 각도가 시야각입니다.

폭 \(S\) 의 센서가 렌즈 뒤쪽으로 거리 \(f\) 만큼 떨어진 곳에, 광축에 수직으로 놓여 있습니다. 얇은 렌즈 모델에 따르면 렌즈 중심을 지나는 광선은 굴절 없이 계속 진행하므로, 센서의 각 가장자리에서 이러한 광선을 하나씩 추적해 봅시다. 각 광선은 렌즈 중심을 곧장 지나 반대편의 장면으로 빠져나갑니다. 두 광선은 함께 센서가 모을 수 있는 빛의 원뿔의 경계를 이루며, 렌즈에서 두 광선 사이의 각도가 시야각입니다.

그 원뿔의 절반은 직각삼각형입니다. 한 변은 렌즈 중심에서 센서 중심까지 이어지는 광축으로, 길이는 \(f\) 입니다. 다른 변은 센서 중심에서 한쪽 가장자리까지의 절반 센서로, 길이는 \(S / 2\) 입니다. 빗변은 렌즈 중심에서 센서 가장자리까지 이어지는 광선 자체입니다.

피타고라스 정리는 세 변의 길이를 서로 연결해 주지만, 피타고라스 정리만으로는 각도를 얻을 수 없으며, 우리가 구하려는 것은 렌즈 꼭짓점에서의 각도입니다. 삼각법은 변의 비율에서 각도로 넘어가는 다리 역할을 합니다. 어떤 직각삼각형에서든, 한 각도의 탄젠트는 그 대변을 인접변으로 나눈 값으로 정의됩니다. 절반 FOV 각도의 경우, 대변은 절반 센서 \(S / 2\) 이고 인접변은 광축 변 \(f\) 이므로,

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

각도 자체는 양변에 탄젠트의 역함수, 즉 아크탄젠트 함수를 적용하면 구할 수 있습니다.

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

원뿔은 축에 대해 대칭이므로, 전체 FOV는 절반 각도의 두 배입니다.

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

이 공식에서 두 가지 결과가 도출됩니다.

• 렌즈 초점 거리가 절대적인 크기가 아니라 각도를 결정합니다. “광각” 렌즈가 넓은 이유는 그 초점 거리가 짧기 때문입니다. \(f\) 가 작을수록 비율 \(S / 2f\) 는 커지고, 원뿔은 더 넓어집니다. 긴 초점 거리는 원뿔을 좁힙니다(“망원” 렌즈).

• 센서 크기도 중요합니다. 동일한 렌즈를 더 작은 센서 앞에 장착하면 원뿔이 잘려 나갑니다. 같은 렌즈라도 더 큰 센서에서보다 더 작은 센서에서 시야각이 더 좁습니다. 이것이 서로 다른 카메라의 초점 거리 수치를 직접 비교할 수 없는 이유입니다. FOV는 \(f\) 와 \(S\) 둘 다에 의존합니다.

4.3.2. 세 가지 렌즈 선택

4.8 mm × 3.6 mm 센서(OpenMV Cam 센서가 제공하는 것과 대략 일치하는 일반적인 소형 포맷 크기)와 세 가지 렌즈 선택을 살펴봅시다.

초점 거리	대각선 FOV	수평 FOV	수직 FOV	설명
2.8 mm	~94°	~81°	~66°	광각
4 mm	~74°	~62°	~48°	표준
8 mm	~41°	~33°	~25°	협각 / 망원

세 열 모두 동일한 공식을 거칩니다. 대각선 FOV는 센서 대각선 \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (이 센서의 경우 6 mm)과 같은 \(S\) 를 사용하고, 수평 FOV는 \(S = W = 4.8\) mm를 사용하며, 수직 FOV는 \(S = H = 3.6\) mm를 사용합니다. 초점 거리를 절반으로 줄이면 각 원뿔이 거의 두 배가 되고, 두 배로 늘리면 거의 절반이 됩니다.

렌즈 데이터시트는 보통 대각선 FOV를 대표 수치 하나로 표기하는데, 이는 센서의 한 모서리에서 반대 모서리까지를 가로지르기 때문입니다. 수평 및 수직 FOV는 프레임에 무엇이 들어갈지 계획할 때 더 직접적으로 유용한데, 프레임은 직사각형이고 직사각형 작업 영역은 대각선이 아니라 수평과 수직을 따라 경계가 정해지기 때문입니다.

4.3.3. 초점 거리 선택하기

애플리케이션에 필요한 FOV는 카메라가 얼마나 큰 영역을 봐야 하는지와 카메라가 얼마나 멀리 떨어져 있을지에 의해 결정됩니다. 카메라가 0.6 m × 0.6 m 작업 영역 위 1 m 지점에 놓여 있다면, 한 변을 덮는 데 필요한 각도 FOV는 \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\) 이며, 위의 8 mm 렌즈가 이에 근접합니다.

애플리케이션에 필요한 것보다 더 넓게 가면 프레임 속 물체가 작아지고, 배경에 픽셀을 낭비하며, 렌즈 왜곡이 늘어납니다. 더 좁게 가면 장면의 일부가 센서 가장자리 밖으로 떨어져 나갑니다. 적절한 렌즈란 카메라의 의도된 거리에서 작업 영역을 여전히 덮으면서 초점 거리가 가장 긴 렌즈입니다.