4.3. Synfält

En kamera ser en kon av världen framför sig; allt utanför denna kon faller utanför sensorns kant. Den vinkelbredd som konen har är synfältet (FOV), och det bestäms av två tal – sensorns storlek och linsens brännvidd.

4.3.1. FOV-formeln

En sensor av bredd \(S\) på avståndet \(f\) bakom linsen definierar en kon av infallande strålar. Den fulla vinkeln av denna kon är synfältet.

En sensor av bredd \(S\) sitter på avståndet \(f\) bakom linsen, vinkelrätt mot den optiska axeln. Den tunna linsmodellen säger att en stråle genom linsens centrum fortsätter oavlänkad, så följ en sådan stråle från varje kant av sensorn: var och en går rakt genom linsens centrum och ut i scenen på andra sidan. Tillsammans avgränsar de ljuskonen som sensorn kan samla in, och vinkeln mellan dem vid linsen är synfältet.

Halva denna kon är en rätvinklig triangel. Den ena kateten är den optiska axeln från linsens centrum till sensorns centrum – längd \(f\). Den andra kateten är halva sensorn från sensorns centrum ut till en kant – längd \(S / 2\). Hypotenusan är själva strålen, som går från linsens centrum till sensorns kant.

Pythagoras sats binder samman de tre sidlängderna, men Pythagoras ger inga vinklar, och vinkeln vid linsens hörn är vad vi är ute efter. Trigonometri är bryggan från sidförhållanden till vinklar. I varje rätvinklig triangel definieras tangenten för en vinkel som dess motstående sida delat med dess närliggande sida. För halva FOV-vinkeln är den motstående sidan halva sensorn \(S / 2\) och den närliggande sidan är den optiska axelns katet \(f\), så

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Själva vinkeln erhålls genom att tillämpa tangentens invers – arctangens-funktionen – på båda sidor:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Konen är symmetrisk kring axeln, så hela FOV är dubbelt så stor som halvvinkeln:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Två konsekvenser följer av formeln:

• Linsens brännvidd bestämmer vinkeln, inte den absoluta storleken. En ”vidvinkel”-lins är vid eftersom dess brännvidd är kort – ju mindre \(f\) är, desto större blir förhållandet \(S / 2f\) och desto vidare konen. En lång brännvidd smalnar av konen (en ”telefoto”-lins).

• Sensorns storlek spelar också roll. Att montera samma lins framför en mindre sensor beskär konen – samma lins har ett smalare synfält på en mindre sensor än på en större. Det är därför brännviddstal på olika kameror inte är direkt jämförbara; FOV beror på både \(f\) och \(S\).

4.3.2. Tre linsval

Ta en 4,8 mm × 3,6 mm sensor (en vanlig storlek i litet format som ungefär motsvarar vad sensorer i OpenMV Cam levererar) och tre linsval.

brännvidd	diagonal FOV	horisontell FOV	vertikal FOV	beskrivning
2,8 mm	~94°	~81°	~66°	vidvinkel
4 mm	~74°	~62°	~48°	normal
8 mm	~41°	~33°	~25°	smal / tele

Alla tre kolumnerna går genom samma formel. Den diagonala FOV använder \(S\) lika med sensorns diagonal \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm för denna sensor); den horisontella FOV använder \(S = W = 4.8\) mm; den vertikala FOV använder \(S = H = 3.6\) mm. Att halvera brännvidden nästan fördubblar varje kon; att fördubbla den nästan halverar dem.

Datablad för linser publicerar vanligtvis den diagonala FOV som det enda rubriktalet, eftersom den sträcker sig från hörn till hörn på sensorn. De horisontella och vertikala FOV är mer direkt användbara vid planering av vad som ska få plats i bildrutan, eftersom bildrutan är rektangulär och ett rektangulärt arbetsområde avgränsas längs det horisontella och vertikala, inte längs diagonalen.

4.3.3. Att välja en brännvidd

Den FOV som tillämpningen behöver bestäms av hur stort ett område kameran måste se och hur långt bort kameran kommer att vara. Om kameran sitter 1 m ovanför ett 0,6 m × 0,6 m arbetsområde är den vinkel-FOV som behövs för att täcka en kant \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), och 8 mm-linsen ovan kommer nära.

Att gå bredare än tillämpningen behöver gör föremålen mindre i bildrutan, slösar pixlar på bakgrund och ökar linsförvrängningen. Att gå smalare gör att delar av scenen faller utanför sensorns kant. Rätt lins är den längsta brännvidd som ändå täcker arbetsområdet på kamerans avsedda avstånd.