4.3. Zorné pole

Kamera vidí kužel světa před sebou; vše mimo tento kužel dopadá mimo okraj senzoru. Úhlová šířka tohoto kuželu je zorné pole (FOV) a je určena dvěma čísly – velikostí senzoru a ohniskovou vzdáleností objektivu.

4.3.1. Vzorec pro FOV

Senzor o šířce \(S\) ve vzdálenosti \(f\) za objektivem definuje kužel přicházejících paprsků. Plný úhel tohoto kuželu je zorné pole.

Senzor o šířce \(S\) se nachází ve vzdálenosti \(f\) za objektivem, kolmo k optické ose. Model tenké čočky říká, že paprsek procházející středem objektivu pokračuje bez vychýlení, takže vyšleme jeden takový paprsek z každého okraje senzoru: každý míří přímo skrz střed objektivu a ven do scény na opačné straně. Společně ohraničují kužel světla, který senzor dokáže zachytit, a úhel mezi nimi v místě objektivu je zorné pole.

Polovina tohoto kuželu tvoří pravoúhlý trojúhelník. Jednou odvěsnou je optická osa od středu objektivu ke středu senzoru – délky \(f\). Druhou odvěsnou je poloviční senzor od středu senzoru k jednomu okraji – délky \(S / 2\). Přeponou je samotný paprsek vedoucí od středu objektivu k okraji senzoru.

Pythagorova věta svazuje tři délky stran dohromady, ale Pythagoras nedává úhly, a úhel ve vrcholu u objektivu je to, oč nám jde. Trigonometrie je mostem od poměrů stran k úhlům. V každém pravoúhlém trojúhelníku je tangens úhlu definován jako poměr protilehlé strany k přilehlé straně. Pro úhel poloviny FOV je protilehlou stranou poloviční senzor \(S / 2\) a přilehlou stranou odvěsna optické osy \(f\), takže

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Samotný úhel získáme aplikací inverzní funkce k tangentě – funkce arkustangens – na obě strany:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Kužel je symetrický kolem osy, takže plné FOV je dvojnásobkem polovičního úhlu:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Z tohoto vzorce vyplývají dva důsledky:

• Úhel určuje ohnisková vzdálenost objektivu, nikoli absolutní velikost. „Širokoúhlý“ objektiv je široký proto, že jeho ohnisková vzdálenost je krátká – čím menší je \(f\), tím větší je poměr \(S / 2f\) a tím širší je kužel. Dlouhá ohnisková vzdálenost kužel zužuje („teleobjektiv“).

• Záleží také na velikosti senzoru. Při montáži stejného objektivu před menší senzor se kužel ořízne – stejný objektiv má na menším senzoru užší zorné pole než na větším. Proto čísla ohniskové vzdálenosti u různých kamer nelze přímo porovnávat; FOV závisí jak na \(f\), tak na \(S\).

4.3.2. Tři volby objektivu

Vezměme senzor 4,8 mm × 3,6 mm (běžná maloformátová velikost zhruba odpovídající tomu, co poskytují senzory OpenMV Cam) a tři volby objektivu.

ohnisková vzdálenost	diagonální FOV	horizontální FOV	vertikální FOV	popis
2,8 mm	~94°	~81°	~66°	širokoúhlý
4 mm	~74°	~62°	~48°	normální
8 mm	~41°	~33°	~25°	úzký / tele

Všechny tři sloupce procházejí stejným vzorcem. Diagonální FOV používá \(S\) rovné úhlopříčce senzoru \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm pro tento senzor); horizontální FOV používá \(S = W = 4.8\) mm; vertikální FOV používá \(S = H = 3.6\) mm. Zmenšení ohniskové vzdálenosti na polovinu téměř zdvojnásobí každý kužel; její zdvojnásobení je téměř na polovinu zmenší.

Datové listy objektivů obvykle uvádějí diagonální FOV jako jediné hlavní číslo, protože pokrývá senzor z rohu do rohu. Horizontální a vertikální FOV jsou přímo užitečnější při plánování toho, co se vejde do snímku, protože snímek je obdélníkový a obdélníková pracovní oblast je ohraničena vodorovně a svisle, nikoli po úhlopříčce.

4.3.3. Volba ohniskové vzdálenosti

FOV, které aplikace potřebuje, je dáno tím, jak velkou oblast musí kamera vidět a jak daleko bude kamera umístěna. Pokud kamera sedí 1 m nad pracovní oblastí 0,6 m × 0,6 m, úhlové FOV potřebné k pokrytí jednoho okraje je \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), a výše uvedený 8 mm objektiv se mu blíží.

Volba širšího FOV, než aplikace potřebuje, zmenšuje objekty ve snímku, plýtvá pixely na pozadí a zvyšuje zkreslení objektivu. Volba užšího FOV vynechá části scény mimo okraj senzoru. Správný objektiv je ten s nejdelší ohniskovou vzdáleností, která stále pokrývá pracovní oblast v zamýšlené vzdálenosti kamery.