4.3. Sichtfeld

Eine Kamera sieht einen Kegel der Welt vor sich; alles außerhalb dieses Kegels fällt seitlich vom Sensor ab. Die Winkelbreite dieses Kegels ist das Sichtfeld (Field of View, FOV), und es wird durch zwei Größen bestimmt – die Sensorgröße und die Brennweite des Objektivs.

4.3.1. Die FOV-Formel

Ein Sensor der Breite \(S\) im Abstand \(f\) hinter dem Objektiv definiert einen Kegel einfallender Strahlen. Der volle Winkel dieses Kegels ist das Sichtfeld.

Ein Sensor der Breite \(S\) befindet sich im Abstand \(f\) hinter dem Objektiv, senkrecht zur optischen Achse. Das Dünne-Linsen-Modell besagt, dass ein Strahl durch die Mitte des Objektivs unabgelenkt weiterläuft. Verfolgen wir also einen solchen Strahl von jeder Kante des Sensors: Jeder läuft geradewegs durch die Objektivmitte und hinaus in die Szene auf der gegenüberliegenden Seite. Gemeinsam begrenzen sie den Lichtkegel, den der Sensor sammeln kann, und der Winkel zwischen ihnen am Objektiv ist das Sichtfeld.

Die Hälfte dieses Kegels ist ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete ist die optische Achse von der Objektivmitte zur Mitte des Sensors – Länge \(f\). Die andere Kathete ist der halbe Sensor von der Sensormitte bis zu einer Kante – Länge \(S / 2\). Die Hypotenuse ist der Strahl selbst, der von der Objektivmitte zur Sensorkante verläuft.

Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seitenlängen miteinander, aber Pythagoras liefert keine Winkel, und der Winkel am Objektivscheitel ist genau das, was wir suchen. Die Trigonometrie ist die Brücke von Seitenverhältnissen zu Winkeln. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels als seine Gegenkathete geteilt durch seine Ankathete definiert. Für den Halb-FOV-Winkel ist die Gegenkathete der halbe Sensor \(S / 2\) und die Ankathete die Kathete der optischen Achse \(f\), also

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Der Winkel selbst ergibt sich durch Anwendung der Umkehrfunktion des Tangens – der Arkustangens-Funktion – auf beide Seiten:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Der Kegel ist symmetrisch zur Achse, daher ist das volle FOV das Doppelte des halben Winkels:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Aus der Formel ergeben sich zwei Konsequenzen:

• Die Brennweite des Objektivs bestimmt den Winkel, nicht die absolute Größe. Ein „Weitwinkel“-Objektiv ist weit, weil seine Brennweite kurz ist – je kleiner \(f\) ist, desto größer wird das Verhältnis \(S / 2f\) und desto weiter der Kegel. Eine lange Brennweite verengt den Kegel (ein „Tele“-Objektiv).

• Auch die Sensorgröße spielt eine Rolle. Setzt man dasselbe Objektiv vor einen kleineren Sensor, wird der Kegel beschnitten – dasselbe Objektiv hat auf einem kleineren Sensor ein schmaleres Sichtfeld als auf einem größeren. Deshalb sind Brennweitenangaben verschiedener Kameras nicht direkt vergleichbar; das FOV hängt sowohl von \(f\) als auch von \(S\) ab.

4.3.2. Drei Objektivauswahlmöglichkeiten

Nehmen wir einen 4,8 mm × 3,6 mm großen Sensor (eine gängige Kleinformatgröße, die in etwa dem entspricht, was die Sensoren der OpenMV Cam liefern) und drei Objektivauswahlmöglichkeiten.

Brennweite	diagonales FOV	horizontales FOV	vertikales FOV	Beschreibung
2,8 mm	~94°	~81°	~66°	Weitwinkel
4 mm	~74°	~62°	~48°	normal
8 mm	~41°	~33°	~25°	schmal / Tele

Alle drei Spalten durchlaufen dieselbe Formel. Das diagonale FOV verwendet \(S\) gleich der Sensordiagonale \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm für diesen Sensor); das horizontale FOV verwendet \(S = W = 4.8\) mm; das vertikale FOV verwendet \(S = H = 3.6\) mm. Eine Halbierung der Brennweite verdoppelt jeden Kegel nahezu; eine Verdopplung halbiert ihn nahezu.

Objektiv-Datenblätter geben üblicherweise das diagonale FOV als einzelne Eckkennzahl an, da es den Sensor von Ecke zu Ecke überspannt. Das horizontale und das vertikale FOV sind direkter nützlich, wenn man plant, was ins Einzelbild passt, denn das Einzelbild ist rechteckig und ein rechteckiger Arbeitsbereich wird entlang der Horizontalen und Vertikalen begrenzt, nicht entlang der Diagonale.

4.3.3. Auswahl einer Brennweite

Das vom Anwendungsfall benötigte FOV wird dadurch bestimmt, wie groß ein Bereich ist, den die Kamera erfassen muss, und wie weit die Kamera entfernt sein wird. Befindet sich die Kamera 1 m über einem 0,6 m × 0,6 m großen Arbeitsbereich, beträgt das zur Abdeckung einer Kante benötigte Winkel-FOV \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), und das oben genannte 8-mm-Objektiv kommt dem nahe.

Weiter zu gehen, als der Anwendungsfall benötigt, macht Objekte im Einzelbild kleiner, verschwendet Pixel auf den Hintergrund und erhöht die Objektivverzeichnung. Schmaler zu gehen lässt Teile der Szene seitlich vom Sensor fallen. Das richtige Objektiv ist die längste Brennweite, die den Arbeitsbereich beim vorgesehenen Kameraabstand noch abdeckt.