4.3. Näkökenttä

Kamera näkee edessään olevan maailmankaikkeuden kartiona; kaikki tuon kartion ulkopuolella putoaa sensorin sivulta pois. Kartion kulmaleveys on näkökenttä (FOV), ja sen määrää kaksi lukua – sensorin koko ja objektiivin polttoväli.

4.3.1. FOV-kaava

Leveyden \(S\) sensori etäisyydellä \(f\) objektiivin takana määrittää saapuvien säteiden kartion. Tuon kartion täysi kulma on näkökenttä.

Leveyden \(S\) sensori sijaitsee etäisyydellä \(f\) objektiivin takana, kohtisuorassa optiseen akseliin nähden. Ohutlinssimallin mukaan objektiivin keskipisteen läpi kulkeva säde jatkaa taittumatta, joten jäljitä yksi tällainen säde sensorin kummastakin reunasta: kumpikin suuntautuu suoraan objektiivin keskipisteen läpi ulos näkymään vastakkaisella puolella. Yhdessä ne rajaavat valokartion, jonka sensori voi kerätä, ja niiden välinen kulma objektiivin kohdalla on näkökenttä.

Puolet tuosta kartiosta on suorakulmainen kolmio. Toinen kateetti on optinen akseli objektiivin keskipisteestä sensorin keskipisteeseen – pituus \(f\). Toinen kateetti on puolikas sensori sensorin keskipisteestä yhteen reunaan – pituus \(S / 2\). Hypotenuusa on itse säde, joka kulkee objektiivin keskipisteestä sensorin reunaan.

Pythagoraan lause sitoo nämä kolme sivunpituutta yhteen, mutta Pythagoras ei anna kulmia, ja juuri objektiivin kärkikulma on se, mitä etsimme. Trigonometria on silta sivusuhteista kulmiin. Missä tahansa suorakulmaisessa kolmiossa kulman tangentti määritellään sen vastaisen sivun ja viereisen sivun suhteena. Puolikkaan FOV-kulman kohdalla vastainen sivu on puolikas sensori \(S / 2\) ja viereinen sivu on optisen akselin kateetti \(f\), joten

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Kulma itse saadaan soveltamalla tangentin käänteisfunktiota – arkustangenttia – molempiin puoliin:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Kartio on symmetrinen akselin suhteen, joten täysi FOV on kaksi kertaa puolikas kulma:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Kaavasta seuraa kaksi asiaa:

• Objektiivin polttoväli määrää kulman, ei absoluuttista kokoa. ”Laajakulma”-objektiivi on laaja, koska sen polttoväli on lyhyt – mitä pienempi \(f\) on, sitä suuremmaksi suhde \(S / 2f\) tulee ja sitä leveämmäksi kartio. Pitkä polttoväli kaventaa kartiota (”telekuvaobjektiivi”).

• Sensorin koolla on myös merkitystä. Saman objektiivin asentaminen pienemmän sensorin eteen rajaa kartiota – samalla objektiivilla on kapeampi näkökenttä pienemmällä sensorilla kuin suuremmalla. Tästä syystä eri kameroiden polttovälilukuja ei voi suoraan verrata; FOV riippuu sekä \(f\):stä että \(S\):stä.

4.3.2. Kolme objektiivivaihtoehtoa

Otetaan 4,8 mm × 3,6 mm sensori (yleinen pienikokoinen koko, joka vastaa suunnilleen OpenMV Cam -sensoreiden tuottamaa) ja kolme objektiivivaihtoehtoa.

polttoväli	diagonaalinen FOV	vaakasuora FOV	pystysuora FOV	kuvaus
2,8 mm	~94°	~81°	~66°	laajakulma
4 mm	~74°	~62°	~48°	normaali
8 mm	~41°	~33°	~25°	kapea / tele

Kaikki kolme saraketta käyvät läpi saman kaavan. Diagonaalinen FOV käyttää \(S\):ää, joka on yhtä suuri kuin sensorin diagonaali \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm tälle sensorille); vaakasuora FOV käyttää \(S = W = 4.8\) mm; pystysuora FOV käyttää \(S = H = 3.6\) mm. Polttovälin puolittaminen lähes kaksinkertaistaa kunkin kartion; sen kaksinkertaistaminen lähes puolittaa ne.

Objektiivien tietolehdissä julkaistaan yleensä diagonaalinen FOV ainoana otsikkolukuna, koska se ulottuu sensorin kulmasta kulmaan. Vaaka- ja pystysuorat FOV:t ovat suoremmin hyödyllisiä suunniteltaessa, mitä kehykseen mahtuu, koska kehys on suorakulmainen ja suorakulmaista työaluetta rajaavat vaaka- ja pystysuunta, eivät diagonaali.

4.3.3. Polttovälin valinta

Sovelluksen tarvitseman FOV:n määrää se, kuinka suuren alueen kameran on nähtävä ja kuinka kaukana kamera tulee olemaan. Jos kamera sijaitsee 1 m:n korkeudella 0,6 m × 0,6 m työalueen yläpuolella, yhden reunan kattamiseen tarvittava kulma-FOV on \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), ja yllä mainittu 8 mm:n objektiivi tulee lähelle.

Sovelluksen tarvetta laajemmalle meneminen tekee kohteista pienempiä kehyksessä, tuhlaa pikseleitä taustaan ja lisää objektiivin vääristymää. Kapeammalle meneminen pudottaa osia näkymästä sensorin sivulta pois. Oikea objektiivi on pisin polttoväli, joka silti kattaa työalueen kameran suunnitellulla etäisyydellä.