4.3. Pole widzenia

Kamera widzi stożek świata przed sobą; wszystko poza tym stożkiem wykracza poza brzeg sensora. Kątowa szerokość tego stożka to pole widzenia (FOV) i jest ona określona przez dwie liczby – rozmiar sensora i ogniskową obiektywu.

4.3.1. Wzór na FOV

Sensor o szerokości \(S\) znajdujący się w odległości \(f\) za obiektywem wyznacza stożek nadchodzących promieni. Pełny kąt tego stożka to pole widzenia.

Sensor o szerokości \(S\) znajduje się w odległości \(f\) za obiektywem, prostopadle do osi optycznej. Model cienkiej soczewki mówi, że promień przechodzący przez środek obiektywu biegnie dalej bez odchylenia, więc prześledźmy jeden taki promień z każdej krawędzi sensora: każdy z nich biegnie prosto przez środek obiektywu i dalej w scenę po drugiej stronie. Razem ograniczają one stożek światła, który sensor może zebrać, a kąt między nimi przy obiektywie to pole widzenia.

Połowa tego stożka jest trójkątem prostokątnym. Jedną przyprostokątną jest oś optyczna od środka obiektywu do środka sensora – o długości \(f\). Drugą przyprostokątną jest połowa sensora, od środka sensora do jednej z krawędzi – o długości \(S / 2\). Przeciwprostokątną jest sam promień, biegnący od środka obiektywu do krawędzi sensora.

Twierdzenie Pitagorasa wiąże ze sobą długości trzech boków, ale Pitagoras nie podaje kątów, a to właśnie kąt przy wierzchołku obiektywu nas interesuje. Trygonometria jest pomostem od stosunków boków do kątów. W każdym trójkącie prostokątnym tangens kąta definiuje się jako stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Dla kąta połowy FOV przyprostokątną naprzeciwległą jest połowa sensora \(S / 2\), a przyprostokątną przyległą jest przyprostokątna leżąca na osi optycznej \(f\), zatem

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

Sam kąt otrzymuje się, stosując do obu stron odwrotność tangensa – funkcję arcus tangens:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Stożek jest symetryczny względem osi, więc pełne FOV jest dwukrotnością połowy kąta:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

Ze wzoru wynikają dwie konsekwencje:

• To ogniskowa obiektywu ustala kąt, a nie bezwzględny rozmiar. Obiektyw „szerokokątny” jest szeroki, ponieważ jego ogniskowa jest krótka – im mniejsze jest \(f\), tym większy staje się stosunek \(S / 2f\) i tym szerszy jest stożek. Długa ogniskowa zwęża stożek (obiektyw „teleobiektyw”).

• Rozmiar sensora również ma znaczenie. Zamontowanie tego samego obiektywu przed mniejszym sensorem przycina stożek – ten sam obiektyw ma węższe pole widzenia na mniejszym sensorze niż na większym. Dlatego wartości ogniskowej dla różnych kamer nie są wprost porównywalne; FOV zależy zarówno od \(f\), jak i od \(S\).

4.3.2. Trzy warianty obiektywów

Weźmy sensor 4,8 mm × 3,6 mm (typowy małoformatowy rozmiar, w przybliżeniu odpowiadający temu, co oferują sensory OpenMV Cam) i trzy warianty obiektywów.

ogniskowa	przekątne FOV	poziome FOV	pionowe FOV	opis
2,8 mm	~94°	~81°	~66°	szerokokątny
4 mm	~74°	~62°	~48°	normalny
8 mm	~41°	~33°	~25°	wąski / tele

Wszystkie trzy kolumny korzystają z tego samego wzoru. Przekątne FOV używa \(S\) równego przekątnej sensora \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm dla tego sensora); poziome FOV używa \(S = W = 4.8\) mm; pionowe FOV używa \(S = H = 3.6\) mm. Zmniejszenie ogniskowej o połowę niemal podwaja każdy stożek; jej podwojenie niemal zmniejsza je o połowę.

Karty katalogowe obiektywów zwykle podają przekątne FOV jako pojedynczą wartość nagłówkową, ponieważ obejmuje ona sensor od rogu do rogu. Poziome i pionowe FOV są bardziej bezpośrednio przydatne przy planowaniu, co zmieści się w ramce, ponieważ ramka jest prostokątna, a prostokątny obszar roboczy jest ograniczony w poziomie i w pionie, a nie po przekątnej.

4.3.3. Wybór ogniskowej

FOV, którego potrzebuje aplikacja, jest określone przez to, jak duży obszar kamera musi widzieć i jak daleko będzie się ona znajdować. Jeśli kamera znajduje się 1 m nad obszarem roboczym 0,6 m × 0,6 m, kątowe FOV potrzebne do pokrycia jednej krawędzi wynosi \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), a powyższy obiektyw 8 mm jest temu bliski.

Wybór szerszego pola widzenia, niż potrzebuje aplikacja, zmniejsza obiekty w ramce, marnuje piksele na tło i zwiększa zniekształcenia obiektywu. Wybór węższego powoduje, że części sceny wypadają poza brzeg sensora. Właściwym obiektywem jest ten o najdłuższej ogniskowej, który nadal pokrywa obszar roboczy z zamierzonej odległości kamery.