4.2. 렌즈와 초점

핀홀은 작동하지만 어둡습니다. 렌즈는 핀홀을 더 넓은 조리개로 대체하고, 렌즈로 들어오는 모든 광선을 이미지 평면의 한 점으로 다시 모읍니다. 그래서 이미지는 밝으면서도 선명해집니다. 핀홀이 강요했던 트레이드오프가 사라지는 것입니다.

4.2.1. 굴절

빛은 더 가벼운 매질(공기)에서 더 밀도가 높은 매질(유리)로 들어갈 때 속도가 느려지며, 이 경계면에서의 속도 변화가 광선을 휘게 합니다. 렌즈는 주어진 장면 지점에서 나온 모든 광선이 뒷벽의 같은 지점에서 다시 수렴하는 데 필요한 만큼 정확히 휘도록 형태가 만들어진 유리 조각입니다. 다른 장면 지점에서 나온 광선은 다른 지점에서 수렴하고, 이런 식으로 계속됩니다. 이미지는 핀홀의 것과 똑같이 한 번에 한 장면 지점씩 만들어지지만, 지점당 빛의 양은 훨씬 더 많습니다.

4.2.2. 얇은 렌즈 모델

실제 렌즈 설계는 유리의 형태, 여러 개의 요소, 그리고 그것을 통과하는 빛의 파장을 고려합니다. 이 절의 나머지 부분에 필요한 기하학은 더 단순한 이상화, 즉 얇은 렌즈 모델에서 나옵니다. 이 모델은 렌즈를 광축 위의 수직 평면으로 취급하여 그곳에서 광선이 순간적으로 방향을 바꾼다고 보고, 렌즈의 실제 두께는 무시합니다.

이 모델은 하나의 출발 관찰에 기반을 둡니다. 광축에 평행하게 렌즈에 도달하는 광선들은 모두 굴절하여 렌즈 뒤의 같은 지점을 지납니다. 그 지점이 초점이며, 렌즈로부터 그 지점까지의 거리가 렌즈의 초점 거리로, 관례적으로 \(f\) 로 표기합니다. “50 mm 렌즈”란 초점 거리가 50 mm인 렌즈를 말합니다. 모든 렌즈는 두 개의 초점을 가지며, 양쪽에 하나씩 같은 거리 \(f\) 에 있습니다. 하나는 이미지 쪽에, 하나는 대칭적으로 물체 쪽에 있습니다.

그 하나의 사실로부터 두 가지 광선 추적 규칙이 도출되어, 모델이 어떤 이미지 지점이든 찾아낼 수 있게 해 줍니다.

• 축에 평행하게 렌즈로 들어오는 광선은 굴절하여 이미지 쪽의 먼 초점을 지납니다.

• 렌즈의 중심을 지나는 광선은 굴절 없이 곧장 계속 진행합니다. 중심에서는 렌즈가 충분히 얇아 광선을 휘게 할 유리가 사실상 없기 때문입니다.

이 규칙들은 단일 광선 추적에 대한 설명처럼 보일 수 있지만, 실제로는 렌즈가 모든 장면 지점에서 동시에 하는 일을 설명합니다. 보이는 각 지점은 모든 방향으로 빛을 산란시키며, 그중 렌즈로 들어오는 광선들은 반대편에 있는 그 지점의 이미지에서 다시 수렴합니다. 완성된 그림은 수백만 개의 그러한 지점별 수렴이 모두 병렬로 일어난 것의 합집합입니다.

동일한 평행광-초점 규칙이 물체의 모든 지점에 적용됩니다. 각 장면 지점은 반대편에 자신만의 이미지 지점을 만들어 내며, 이들이 함께 완전한 뒤집힌 이미지를 그려냅니다.

단일 장면 지점을 확대하면 이 작도가 명확해집니다. 그 장면 지점에서 출발하는 두 광선, 즉 축에 평행한 광선(먼 초점을 통해 굴절됨)과 렌즈 중심을 지나는 광선(굴절 없음)은 렌즈 반대편에서 다시 교차하며, 교차하는 곳이 바로 그 지점의 이미지입니다.

위: 평행 광선들이 초점으로 수렴합니다. 아래: 장면 지점에서 나온 두 작도 광선이 렌즈 반대편에서 그 이미지를 찾아냅니다.

같은 기하학을 대수적으로 표현한 것이 얇은 렌즈 방정식입니다. 이는 물체 거리 \(u\), 이미지 거리 \(v\), 초점 거리 \(f\) 를 관련짓습니다.

\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]

세 값 중 두 개가 주어지면, 이 방정식이 나머지 하나를 구해 줍니다.

아주 먼 장면(\(u\) 가 큰 경우)에서는 \(1/u\) 항이 무시할 만큼 작아지고 \(v\) 는 \(f\) 에 가까워집니다. 즉 먼 장면은 초점에서 초점이 맞습니다. 더 가까운 장면은 \(v\) 가 \(f\) 보다 커야 하며, 이는 초점을 유지하려면 렌즈가 센서로부터 더 멀리 떨어져 있어야 함을 의미합니다. 수동 경통, 자동초점 모터, 고정초점 심 등 모든 초점 조절 기구가 물리적으로 하는 일이 바로 이것입니다. 렌즈를 앞뒤로 움직여 \(v\) 가 카메라가 선명하게 촬영하도록 요구받은 장면의 \(u\) 와 일치하도록 하는 것입니다.

4.2.3. 피사계 심도

특정 피사체 거리에 초점이 맞춰진 렌즈는 정확히 그 거리에 있는 점들만 완벽하게 선명한 이미지로 맺습니다. 더 가깝거나 먼 점들은 센서 앞이나 뒤에 초점이 맺혀 센서에는 작은 흐림 원으로 도달합니다. 이러한 흐림 원이 선명해 보일 만큼 충분히 작게 유지되는 피사체 거리의 범위가 바로 피사계 심도(depth of field, DOF)입니다.

초점이 맞춰진 거리에 있는 지점만 이미지 평면에 참된 점으로 투영됩니다. 더 가깝거나 더 먼 지점은 흐림 원으로 도달합니다. 허용 가능한 흐림의 범위가 피사계 심도입니다.

렌즈를 조여(stopped down) 조리개를 줄이면 피사계 심도가 커집니다. 더 작은 구멍은 각 장면 지점에서 더 좁은 광선 다발을 받아들이고, 그 더 좁은 다발은 초점을 벗어난 지점에 대해 더 작은 흐림 원을 만듭니다. 그래서 더 작은 조리개는 더 큰 DOF를 주지만 빛은 덜 받아들이고, 더 큰 조리개는 더 많은 빛을 받아들이지만 DOF를 줄입니다. 조리개는 렌즈가 촬영자에게 건네주는 두 번째 조절 손잡이이며, 앞서 본 핀홀/렌즈 선택과 마찬가지로 선명도 대 밝기의 트레이드오프입니다.

4.2.4. 조리개와 F값

렌즈 조리개는 F값으로 표현되는데, 이는 초점 거리를 조리개 지름으로 나눈 비율입니다.

\[N = \frac{f}{D}\]

여기서 \(D\) 는 구멍의 지름입니다. 25 mm 폭의 구멍을 가진 50 mm 렌즈는 \(N = 2\) 이며, f/2 로 표기합니다. F값이 작을수록 구멍이 넓고(빛이 더 많고, DOF가 더 작음), F값이 클수록 구멍이 좁습니다(빛이 더 적고, DOF가 더 큼). 절대적인 지름이 아니라 비율이 중요한 이유는, 같은 \(f / D\) 비율이 초점 거리와 관계없이 같은 장면에 대해 같은 이미지 밝기를 주기 때문입니다.

OpenMV Cam의 기본 렌즈는 범용으로 선택된 고정 조리개를 갖추고 있으며, F값은 렌즈 데이터시트에 주어진 사양 중 하나입니다. 이 카메라들에서 조리개는 초점 거리보다 일상적으로는 덜 중요하지만, 데이터시트를 읽는 데에는 중요한 개념입니다.