4.2. Lenzen en scherpstelling¶

Een gaatje (pinhole) werkt maar is donker. Een lens vervangt het gaatje door een bredere opening en focust elke straal die binnenkomt opnieuw terug naar één enkel punt op het beeldvlak, zodat de afbeelding zowel helder als scherp is – de afweging die het gaatje afdwong verdwijnt.

4.2.1. Breking¶

Licht vertraagt wanneer het vanuit een lichter medium (lucht) een dichter medium (glas) binnenkomt, en de snelheidsverandering aan het grensvlak buigt de straal af. Een lens is een stuk glas zo gevormd dat elke straal vanuit een gegeven scènepunt precies zoveel afbuigt als nodig is om weer samen te komen op hetzelfde punt op de achterwand. Stralen vanuit een ander scènepunt komen samen op een ander punt, enzovoort; de afbeelding wordt punt voor punt opgebouwd, precies zoals bij het gaatje, maar met enorm veel meer licht per punt.

4.2.2. Het dunne-lensmodel¶

Echt lensontwerp houdt rekening met de glasvorm, meerdere elementen en de golflengte van het licht dat erdoorheen gaat. De geometrie die de rest van deze sectie nodig heeft, komt voort uit een eenvoudiger idealisering – het dunne-lensmodel – dat de lens behandelt als een verticaal vlak op de optische as waar stralen ogenblikkelijk van richting veranderen, waarbij de werkelijke dikte van de lens wordt genegeerd.

Het model is verankerd door één beginobservatie: stralen die parallel aan de optische as bij de lens aankomen, breken allemaal zo dat ze door hetzelfde punt achter de lens gaan. Dat punt is het brandpunt, en de afstand ervan tot de lens is de brandpuntsafstand van de lens, conventioneel geschreven als \(f\). Een “50 mm-lens” is er een waarvan de brandpuntsafstand 50 mm is. Elke lens heeft twee brandpunten, één aan elke kant, op gelijke afstand \(f\) – het ene aan de beeldzijde en één symmetrisch aan de objectzijde.

Uit dat ene feit vloeien twee straaltraceringsregels voort die het model elk willekeurig beeldpunt laten lokaliseren:

Een straal die parallel aan de as de lens binnenkomt, breekt zo dat hij door het verre brandpunt aan de beeldzijde gaat.
Een straal die door het midden van de lens gaat, gaat recht door, onafgebogen – want in het midden is de lens dun genoeg dat er effectief geen glas is om de straal af te buigen.

Die regels lijken misschien de beschrijving van een enkele straaltracering, maar ze beschrijven wat de lens op elk scènepunt tegelijkertijd doet. Elk zichtbaar punt verstrooit licht in alle richtingen; welke van zijn stralen ook de lens binnenkomen, ze komen weer samen op de afbeelding van dat punt aan de andere kant. Het volledige beeld is de vereniging van miljoenen van die per-punt-convergenties, die allemaal parallel plaatsvinden.

Een verticale objectpijl links van een lens, met drie monsterpunten gemarkeerd over de lengte. Vanuit elk monsterpunt komt een horizontale straal de lens binnen, breekt zo dat hij door hetzelfde verre brandpunt op de optische as gaat, en gaat verder naar een afzonderlijk beeld- punt aan de rechterkant, waar drie beeldpunten de omgekeerde beeldpijl traceren. — Dezelfde parallel-naar-brandpunt-regel geldt op elk punt van het object. Elk scènepunt produceert zijn eigen beeldpunt aan de andere kant; samen traceren ze een volledige omgekeerde afbeelding.¶

Inzoomen op een enkel scènepunt maakt de constructie expliciet. Twee stralen die dat scènepunt verlaten – één parallel aan de as (gebroken door het verre brandpunt) en één door het midden van de lens (onafgebogen) – kruisen elkaar weer aan de andere kant van de lens, en waar ze kruisen is de afbeelding van dat punt.

Twee diagrammen gestapeld. Het bovenste diagram toont drie parallelle stralen die van links een verticale lens binnenkomen en breken om samen te komen bij een brandpunt op de optische as op afstand f achter de lens. Het onderste diagram toont de dunne-lensconstructie: een rechtopstaande pijl links op afstand u voor de lens, met de nabije en verre brandpunten gemarkeerd op de as. Een parallel-dan-door-het-brandpunt-straal en een recht-door-het-midden-straal verlaten de punt van de pijl, breken bij de lens, en ontmoeten elkaar rechts op afstand v achter de lens, waar een omgekeerde beeld- pijl eindigt. — Boven: parallelle stralen komen samen bij het brandpunt. Onder: de twee constructiestralen vanuit een scènepunt lokaliseren de afbeelding ervan aan de andere kant van de lens.¶

Dezelfde geometrie algebraïsch uitgedrukt is de dunne-lensvergelijking. Ze relateert de objectafstand \(u\), de beeldafstand \(v\) en de brandpuntsafstand \(f\):

\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]

Gegeven twee van de drie, geeft de vergelijking de derde.

Voor een zeer verre scène (\(u\) groot) wordt de term \(1/u\) verwaarloosbaar en nadert \(v\) tot \(f\) – verre scènes worden scherpgesteld op het brandpunt. Dichterbij gelegen scènes vereisen dat \(v\) groter is dan \(f\), wat betekent dat de lens verder van de sensor moet zitten om scherp te blijven. Dat is wat elk scherpstelmechanisme – handmatige lensring, autofocusmotor, vaste-focus-vulplaatje – fysiek doet: de lens heen en weer schuiven zodat \(v\) overeenkomt met de \(u\) van de scène die de camera scherp moet afbeelden.

4.2.3. Scherptediepte¶

Een lens die op één objectafstand is scherpgesteld, vormt alleen een perfect scherpe afbeelding van punten op precies die afstand. Punten dichterbij of verder weg worden scherpgesteld op plekken vóór of achter de sensor en komen op de sensor aan als kleine wazige cirkels. Het bereik van objectafstanden waarover die wazige cirkels klein genoeg zijn om scherp te lijken, is de scherptediepte (DOF).

Drie objectpunten op drie verschillende afstanden -- nabij, scherpgesteld, ver -- die elk via de lens projecteren naar een klein gebied op het beeldvlak. De afbeelding van het middelste object is een punt; de afbeeldingen van de nabije en verre objecten zijn kleine wazige cirkels. Een band met het label "scherp" markeert het bereik van afstanden waarvan de wazige cirkels onder een aanvaardbare grootte vallen. — Alleen punten op de scherpgestelde afstand projecteren tot ware punten op het beeldvlak; nabije en verre punten komen aan als wazige cirkels. Het bereik van aanvaardbare onscherpte is de scherptediepte.¶

De scherptediepte groeit wanneer de lens wordt afgeknepen (stopped down) – een kleiner gat laat een smaller bundel stralen vanuit elk scènepunt toe, en die smallere bundels produceren kleinere wazige cirkels voor punten buiten de scherpstelling. Een kleinere opening geeft dus meer DOF maar laat minder licht toe, en een grotere opening laat meer licht toe maar vermindert de DOF. De opening is de tweede knop die de lens de fotograaf geeft, en net als de eerdere keuze tussen gaatje en lens is het een afweging tussen scherpte en helderheid.

4.2.4. Opening en F-getal¶

Lensopeningen worden uitgedrukt als F-getallen, de verhouding van de brandpuntsafstand tot de diameter van de opening:

\[N = \frac{f}{D}\]

waarbij \(D\) de diameter van de opening is. Een 50 mm-lens met een 25 mm-brede opening heeft \(N = 2\), geschreven als f/2. Kleinere F-getallen betekenen een bredere opening (meer licht, minder DOF); grotere F-getallen betekenen een smallere opening (minder licht, meer DOF). De verhouding in plaats van de absolute diameter is wat van belang is, omdat dezelfde verhouding \(f / D\) dezelfde beeldhelderheid geeft voor dezelfde scène, ongeacht de brandpuntsafstand.

De standaardlenzen van de OpenMV Cam worden geleverd met vaste openingen die gekozen zijn voor algemeen gebruik; het F-getal is een van de specificaties die in het lensdatasheet worden gegeven. De opening is op deze camera’s dagelijks minder van belang dan de brandpuntsafstand, maar het concept is van belang om een datasheet te kunnen lezen.