4.3. שדה ראייה

מצלמה רואה חרוט של העולם שלפניה; כל מה שמחוץ לחרוט הזה נופל אל מחוץ לצדי החיישן. הרוחב הזוויתי של החרוט הזה הוא שדה הראייה (FOV), והוא נקבע על ידי שני מספרים – גודל החיישן ואורך המוקד של העדשה.

4.3.1. נוסחת ה-FOV

חיישן ברוחב \(S\) במרחק \(f\) מאחורי העדשה מגדיר חרוט של קרניים נכנסות. הזווית המלאה של אותו חרוט היא שדה הראייה.

חיישן ברוחב \(S\) ממוקם במרחק \(f\) מאחורי העדשה, ניצב לציר האופטי. מודל העדשה הדקה אומר שקרן העוברת דרך מרכז העדשה ממשיכה ללא סטייה, ולכן עקוב אחר קרן כזו מכל קצה של החיישן: כל אחת מהן עוברת ישר דרך מרכז העדשה והחוצה אל הסצנה בצד הרחוק. יחד הן תוחמות את חרוט האור שהחיישן יכול לאסוף, והזווית ביניהן בעדשה היא שדה הראייה.

חצי מהחרוט הזה הוא משולש ישר זווית. ניצב אחד הוא הציר האופטי ממרכז העדשה אל מרכז החיישן – באורך \(f\). הניצב השני הוא חצי החיישן ממרכז החיישן החוצה אל קצה אחד – באורך \(S / 2\). היתר הוא הקרן עצמה, הנמשכת ממרכז העדשה אל קצה החיישן.

משפט פיתגורס קושר את שלושת אורכי הצלעות יחד, אך פיתגורס אינו נותן זוויות, והזווית בקודקוד העדשה היא זו שאנו מחפשים. טריגונומטריה היא הגשר מיחסי צלעות אל זוויות. בכל משולש ישר זווית, הטנגנס של זווית מוגדר כצלע שמולה חלקי הצלע הסמוכה לה. עבור זווית חצי-ה-FOV, הצלע שמולה היא חצי החיישן \(S / 2\) והצלע הסמוכה היא ניצב הציר האופטי \(f\), ולכן

\[\tan(\text{half-FOV}) = \frac{S / 2}{f} = \frac{S}{2f}\]

הזווית עצמה מתקבלת על ידי הפעלת ההופכי של הטנגנס – פונקציית הארקטנגנס – על שני האגפים:

\[\text{half-FOV} = \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

החרוט סימטרי סביב הציר, ולכן ה-FOV המלא הוא פי שניים מחצי הזווית:

\[\text{FOV} = 2 \cdot \arctan \! \left( \frac{S}{2f} \right)\]

שתי מסקנות נובעות מהנוסחה:

• אורך המוקד של העדשה קובע את הזווית, לא את הגודל המוחלט. עדשת ”זווית רחבה“ היא רחבה משום שאורך המוקד שלה קצר – ככל ש-\(f\) קטן יותר, כך היחס \(S / 2f\) גדל, והחרוט רחב יותר. אורך מוקד ארוך מצר את החרוט (עדשת ”טלפוטו“).

• גם גודל החיישן חשוב. הרכבת אותה עדשה לפני חיישן קטן יותר חותכת את החרוט – לאותה עדשה יש שדה ראייה צר יותר על חיישן קטן מאשר על חיישן גדול. זו הסיבה שמספרי אורך המוקד במצלמות שונות אינם ניתנים להשוואה ישירה; ה-FOV תלוי הן ב-\(f\) והן ב-\(S\).

4.3.2. שלוש בחירות עדשה

ניקח חיישן בגודל 4.8 mm × 3.6 mm (גודל פורמט קטן נפוץ התואם בקירוב את מה שחיישני OpenMV Cam מספקים) ושלוש בחירות עדשה.

אורך מוקד	FOV אלכסוני	FOV אופקי	FOV אנכי	תיאור
2.8 mm	~94°	~81°	~66°	זווית רחבה
4 mm	~74°	~62°	~48°	רגיל
8 mm	~41°	~33°	~25°	צר / טלה

כל שלוש העמודות עוברות דרך אותה נוסחה. ה-FOV האלכסוני משתמש ב-\(S\) השווה לאלכסון החיישן \(\sqrt{W^2 + H^2}\) (6 mm עבור חיישן זה); ה-FOV האופקי משתמש ב-\(S = W = 4.8\) mm; ה-FOV האנכי משתמש ב-\(S = H = 3.6\) mm. חציית אורך המוקד כמעט מכפילה כל חרוט; הכפלתו כמעט חוצה אותם.

גיליונות הנתונים של עדשות מפרסמים בדרך כלל את ה-FOV האלכסוני כמספר הכותרת היחיד, מכיוון שהוא משתרע על החיישן מפינה לפינה. ה-FOV האופקי והאנכי שימושיים יותר באופן ישיר בעת תכנון מה ייכנס לפריים, מכיוון שהפריים מלבני ושטח עבודה מלבני תחום לאורך האופקי והאנכי, ולא לאורך האלכסון.

4.3.3. בחירת אורך מוקד

ה-FOV שהיישום זקוק לו נקבע על ידי גודל האזור שהמצלמה צריכה לראות וכמה רחוק תהיה המצלמה. אם המצלמה ממוקמת בגובה 1 m מעל שטח עבודה בגודל 0.6 m × 0.6 m, ה-FOV הזוויתי הדרוש לכיסוי קצה אחד הוא \(2 \cdot \arctan(0.3 / 1) \approx 33°\), ועדשת ה-8 mm שלמעלה מתקרבת לכך.

מעבר לרחב יותר ממה שהיישום זקוק לו מקטין את האובייקטים בפריים, מבזבז פיקסלים על הרקע, ומגביר את עיוות העדשה. מעבר לצר יותר מוריד חלקים מהסצנה אל מחוץ לצד החיישן. העדשה הנכונה היא אורך המוקד הארוך ביותר שעדיין מכסה את שטח העבודה במרחק המיועד של המצלמה.